Corso di Laurea in Informatica Linguaggio e Metodi della Matematica Prova scritta del 13 Febbraio 2003

Cognome e nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numero di matricola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corso e Aula:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esercizio 1. Potendo usare le consuete notazioni logiche e insiemistiche, e i simboli “=” (uguaglianza), “≥” (relazione di minore o uguale), “+” (somma), si formalizzino i seguenti enunciati:

• “La somma di due numeri naturali diversi da zero è maggiore o uguale di ciascun addendo”.

• “Il quadrato di un numero intero è congruo a 0 o 1 modulo 3”. Esercizio 2. Siano A, B e C tre insiemi. Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa, giustificando la risposta.

1. Se B ∩ A ⊆ C allora B ⊆ C e A ⊆ C;

2. Se B \ A ⊆ C allora B ⊆ A ∪ C;

3. Se B ⊆ A ∪ C e B ∩ A = ∅ allora B ⊆ C \ A;

4. Se B ⊆ A ∪ C allora B ∩ A ≠ ∅. Esercizio 3. Sia A l’insieme {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 100}.

1. Quanti sono i sottoinsiemi di A di con 13 elementi?

2. Quanti sono i sottoinsiemi di A che non contengono il numero 90 ?

3. Quanti sono i sottoinsiemi di A che contengono almeno un numero maggiore di 88?

4. Quanti sono gli elementi di A divisibili per 5 o per 6? Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 4. Trovare la formula generale suggerita dalle seguenti uguaglianze, e dimostrarla per induzione.

\begin{aligned}5(5 − 5/2) & = & 5^{2}/2 \\ 5(5 − 5/2)(5 − 5/3) & = & 5^{3}/3 \\ 5(5 − 5/2)(5 − 5/3)(5 − 5/4) & = & 5^{4}/4 \end{aligned}

Esercizio 5.

1. A quale dei numeri tra 0, 1, 2 e 3 è congruo il numero 19 · 19 modulo 4?

2. A quale dei numeri tra 0, 1, 2 e 3 è congruo il numero 19^{41} modulo 4?

3. Stabilire se \frac{19^{41}−1}{2} è un numero intero e, in tal caso, determinare se è pari o dispari.

4. Stabilire per quali n ∈ ℕ, il numero \frac{19^{n}−1}{2} è un intero dispari.

Corso di Laurea in Informatica Linguaggio e Metodi della Matematica Prova scritta del 13 Febbraio 2003

Cognome e nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numero di matricola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corso e Aula:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esercizio 1. Potendo usare le consuete notazioni logiche e insiemistiche, e i simboli “=” (uguaglianza), “≥” (relazione di minore o uguale), “ · ” (prodotto), si formalizzi il seguente enunciato:

• “Il prodotto di due numeri naturali diversi da zero è maggiore o uguale di ciascun fattore”.

• “Un intero congruo a 2 modulo 3 non e’ un quadrato”. Esercizio 2. Siano A, B e C tre insiemi. Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa, giustificando la risposta.

1. Se C ⊆ B ∪ A allora C ∩ B ≠ ∅;

2. Se C \ B ⊆ A allora C ⊆ B ∪ A;

3. Se C ⊆ B ∪ A e C ∩ B = ∅ allora C ⊆ A \ B;

4. Se C ∩ B ⊆ A allora C ⊆ A e B ⊆ A. Esercizio 3. Sia X l’insieme {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 120}.

1. Quanti sono i sottoinsiemi di X che non contengono il numero 7 ?

2. Quanti sono i sottoinsiemi di X di con 12 elementi?

3. Quanti sono i sottoinsiemi di X che contengono almeno un numero maggiore di 88?

4. Quanti sono gli elementi di X divisibili per 4 o per 7? Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 4. Trovare la formula generale suggerita dalle seguenti uguaglianze, e dimostrarla per induzione.

\begin{aligned}6(6 − 6/2) & = & 6^{2}/2 \\ 6(6 − 6/2)(6 − 6/3) & = & 6^{3}/3 \\ 6(6 − 6/2)(6 − 6/3)(6 − 6/4) & = & 6^{4}/4 \end{aligned}

Esercizio 5.

1. A quale dei numeri tra 0, 1, 2 e 3 è congruo il numero 15 · 15 modulo 4?

2. A quale dei numeri tra 0, 1, 2 e 3 è congruo il numero 15^{77} modulo 4?

3. Stabilire se \frac{15^{77}−1}{2} è un numero intero e, in tal caso, determinare se è pari o dispari.

4. Stabilire per quali n ∈ ℕ, il numero \frac{15^{n}−1}{2} è un intero dispari.

Corso di Laurea in Informatica Linguaggio e Metodi della Matematica Prova scritta del 13 Febbraio 2003

Cognome e nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numero di matricola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corso e Aula:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esercizio 1. Potendo usare le consuete notazioni logiche e insiemistiche, e i simboli “=” (uguaglianza), “≥” (relazione di minore o uguale), “+” (somma), si formalizzi il seguente enunciato:

• “La somma di due numeri naturali diversi da zero è maggiore o uguale di ciascun addendo”.

• “Un intero congruo a 2 modulo 3 non e’ un quadrato”. Esercizio 2. Siano X, Y e Z tre insiemi. Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa, giustificando la risposta.

1. Se Y \ Z ⊆ X allora Y ⊆ Z ∪ X;

2. Se Y ⊆ Z ∪ X e Y ∩ Z = ∅ allora Y ⊆ X \ Z;

3. Se Y ⊆ Z ∪ X allora Y ∩ Z ≠ ∅;

4. Se Y ∩ Z ⊆ X allora Y ⊆ X e Z ⊆ X. Esercizio 3. Sia X l’insieme {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 110}.

1. Quanti sono i sottoinsiemi di X di con 11 elementi?

2. Quanti sono i sottoinsiemi di X che non contengono il numero 34 ?

3. Quanti sono gli elementi di A divisibili per 3 o per 7?

4. Quanti sono i sottoinsiemi di X che contengono almeno un numero maggiore di 78? Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 4. Trovare la formula generale suggerita dalle seguenti uguaglianze, e dimostrarla per induzione.

\begin{aligned}7(7 − 7/2) & = & 7^{2}/2 \\ 7(7 − 7/2)(7 − 7/3) & = & 7^{3}/3 \\ 7(7 − 7/2)(7 − 7/3)(7 − 7/4) & = & 7^{4}/4 \end{aligned}

Esercizio 5.

1. A quale dei numeri tra 0, 1, 2 e 3 è congruo il numero 11 · 11 modulo 4?

2. A quale dei numeri tra 0, 1, 2 e 3 è congruo il numero 11^{45} modulo 4?

3. Stabilire se \frac{11^{45}−1}{2} è un numero intero e, in tal caso, determinare se è pari o dispari.

4. Stabilire per quali n ∈ ℕ, il numero \frac{11^{n}−1}{2} è un intero dispari.

Corso di Laurea in Informatica Linguaggio e Metodi della Matematica Prova scritta del 13 Febbraio 2003

Cognome e nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numero di matricola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corso e Aula:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esercizio 1. Potendo usare le consuete notazioni logiche e insiemistiche, e i simboli “=” (uguaglianza), “≥” (relazione di minore o uguale), “ · ” (prodotto), si formalizzi il seguente enunciato:

• “Il prodotto di due numeri naturali diversi da zero è maggiore o uguale di ciascun fattore”.

• “Il quadrato di un numero intero è congruo a 0 o 1 modulo 3”. Esercizio 2. Siano X, Y e Z tre insiemi. Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa, giustificando la risposta.

1. Se Z ∩ X ⊆ Y allora Z ⊆ Y e X ⊆ Y;

2. Se Z ⊆ X ∪ Y allora Z ∩ X ≠ ∅;

3. Se Z \ X ⊆ Y allora Z ⊆ X ∪ Y;

4. Se Z ⊆ X ∪ Y e Z ∩ X = ∅ allora Z ⊆ Y \ X. Esercizio 3. Sia A l’insieme {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 90}.

1. Quanti sono i sottoinsiemi di A che non contengono il numero 66 ?

2. Quanti sono i sottoinsiemi di A di con 15 elementi?

3. Quanti sono i sottoinsiemi di A che contengono almeno un numero maggiore di 68?

4. Quanti sono gli elementi di A divisibili per 2 o per 11? Tutte le risposte devono essere giustificate. Esercizio 4. Trovare la formula generale suggerita dalle seguenti uguaglianze, e dimostrarla per induzione.

\begin{aligned}8(8 − 8/2) & = & 8^{2}/2 \\ 8(8 − 8/2)(8 − 8/3) & = & 8^{3}/3 \\ 8(8 − 8/2)(8 − 8/3)(8 − 8/4) & = & 8^{4}/4 \end{aligned}

Esercizio 5.

1. A quale dei numeri tra 0, 1, 2 e 3 è congruo il numero 7 · 7 modulo 4?

2. A quale dei numeri tra 0, 1, 2 e 3 è congruo il numero 7^{53} modulo 4?

3. Stabilire se \frac{7^{53}−1}{2} è un numero intero e, in tal caso, determinare se è pari o dispari.

4. Stabilire per quali n ∈ ℕ, il numero \frac{7^{n}−1}{2} è un intero dispari.